[笔记] 事件独立、对立、互斥，全概率、条件概率、贝叶斯

[笔记] 事件独立、对立、互斥，全概率、条件概率、贝叶斯

最新推荐文章于 2024-11-16 13:26:02 发布

原创

最新推荐文章于 2024-11-16 13:26:02 发布

·

1.3w 阅读

·

4

·

33

·

CC 4.0 BY-SA版权

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

文章标签：

#概率论

数学

专栏收录该内容

2 篇文章

订阅专栏

本文介绍了概率论中三个基本概念：独立事件、对立事件和互斥事件。独立事件指两个事件的发生互不影响，概率乘积等于各自概率；对立事件是两个事件不能同时发生，且总概率之和为1；互斥事件是指两个事件不能同时发生。全概率公式用于计算未知事件的概率，条件概率公式和贝叶斯公式则涉及已知条件下事件概率的计算。这些基础知识对于理解和应用概率论至关重要。

独立对立互斥全概率公式条件概率公式贝叶斯公式联合概率链式法则

独立

对于任意两个事件

A

{A}

A 与

B

{B}

B，如果

P

(

A

B

)

=

P

(

A

)

P

(

B

)

{P(AB)=P(A)P(B)}

P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件

A

{A}

A 与事件

B

{B}

B相互独立，简称为独立。

对立

如果事件

A

{A}

A 和事件

B

{B}

B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即

A

∪

B

=

Ω

{A\cup B=\Omega}

A∪B=Ω ，且

A

∩

B

=

∅

{A\cap B=\varnothing}

A∩B=∅，那么称事件

A

{A}

A 与事件

B

{B}

B互为对立。把事件

A

{A}

A的对立事件记为

A

‾

\overline{A}

A。

互斥

对于一个随机试验的两个事件

A

{A}

A、

B

{B}

B而言，如果事件

A

{A}

A与事件

B

{B}

B 不能同时发生，也就是说

A

∩

B

{A\cap B}

A∩B是一个不可能事件，即

A

∩

B

=

∅

{A\cap B=\varnothing}

A∩B=∅，则称事件

A

{A}

A 与事件

B

{B}

B互斥（或互不相容）。

notes

如果事件

A

{A}

A 或事件

B

{B}

B发生的概率都不为0，那么：互斥不独立，独立不互斥。零概率事件与不可能事件是不同的。1概率事件与必然事件是不同的。零概率事件与任何事件独立；1概率事件与任何事件独立。不可能事件与任何事件互斥。

全概率公式

P

(

B

)

=

∑

i

=

1

n

P

(

A

i

)

P

(

B

∣

A

i

)

{P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})P(B|{{A}_{i}})}}

P(B)=i=1∑n​P(Ai​)P(B∣Ai​)

若事件

A

1

{A}_{1}

A1​，

A

2

{A}_{2}

A2​，…，

A

n

{A}_{n}

An​构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件

B

{B}

B都有此公式成立。

条件概率公式

已知事件

B

{B}

B已经发生，求事件

A

{A}

A发生的概率。

P

(

A

∣

B

)

=

P

(

A

B

)

P

(

B

)

=

P

(

B

∣

A

)

P

(

A

)

P

(

B

)

P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

P(A∣B)=P(B)P(AB)​=P(B)P(B∣A)P(A)​

贝叶斯公式

P

(

A

∣

B

)

=

P

(

B

∣

A

)

P

(

A

)

∑

i

=

1

n

P

(

A

i

)

P

(

B

∣

A

i

)

P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})P(B|{{A}_{i}})}}

P(A∣B)=i=1∑n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(B∣A)P(A)​

联合概率链式法则

P

(

A

,

B

,

C

,

D

)

=

P

(

A

∣

B

,

C

,

D

)

∗

P

(

B

∣

C

,

D

)

∗

P

(

C

∣

D

)

∗

P

(

D

)

P(A,B,C,D)=P(A|B,C,D)*P(B|C,D)*P(C|D)*P(D)

P(A,B,C,D)=P(A∣B,C,D)∗P(B∣C,D)∗P(C∣D)∗P(D)

P

(

X

1

,

X

2

,

⋅

⋅

⋅

,

X

n

)

=

P

(

X

1

∣

X

2

,

X

3

,

⋅

⋅

⋅

,

X

n

)

∗

P

(

X

2

∣

X

3

,

X

4

,

⋅

⋅

⋅

,

X

n

)

⋅

⋅

⋅

P

(

X

n

−

1

∣

X

n

)

∗

P

(

X

n

)

P({{X}_{1}},{{X}_{2}},···,{{X}_{n}})=P({{X}_{1}}|{{X}_{2}},{{X}_{3}},···,{{X}_{n}})*P({{X}_{2}}|{{X}_{3}},{{X}_{4}},···,Xn)···P({{X}_{n}}-1|{{X}_{n}})*P({{X}_{n}})

P(X1​,X2​,⋅⋅⋅,Xn​)=P(X1​∣X2​,X3​,⋅⋅⋅,Xn​)∗P(X2​∣X3​,X4​,⋅⋅⋅,Xn)⋅⋅⋅P(Xn​−1∣Xn​)∗P(Xn​)

Reference

事件的互斥、对立与独立独立和互斥是什么关系？独立和不相关是什么关系？浅谈全概率公式和贝叶斯公式一个例子搞懂条件概率、先验概率、后验概率、全概率公式和贝叶斯公式贝叶斯估计、最大似然估计、最大后验概率估计概率论的链式法则