深入理解取余运算

前言： 对于两个相同符号的数取余大家都很熟悉，但是对于一正一负的数取余呢？大家可能觉得会很陌生，今天在刷leetcode7：整数反转(easy)这道题的时候，想起了这个知识点，遂打算探讨一番。

自然数取余定义分为两种：

1）定义1：如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足a=qd+r且0 ≤ r < d（其中q为商，r为余数）。 定义1一般作为数学中的取余法则，即两个数取余，余数总是为正数。举例： 5%3=3x1+2，商为1，余数为2 (-5)%(-3)=(-3)x2+1，商为2，余数为1 5%(-3)=(-3)x(-1)+2，商为-1，余数为2 (-5)%3=3x(-2)+1，商为-2，余数为1

2）定义2：如果a 与d 是整数，d 非零，那么余数 r 满足这样的关系：a = qd + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。定义2取余的结果就会导致出现两个余数了，比如5%(-3) = (-3)x(-1)+2 = (-3)x(-2)-1，所以这里的余数2和-1都满足定义。 我们把2称为正余数，-1成为负余数。通常，当除以d 时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么有r1 = r2 + d。所有语言和计算器都遵循了尽量让商尽量靠近0的原则，即5%(-3) 的结果为2而不是-1，(-5)%3的结果是-2而不是1。

测试代码如下：

#include

using namespace std;

int main()

{

cout<<(5%3)<

cout<<(-5%-3)<

cout<<(5%-3)<

cout<<(-5%3)<

system("pause");

return 0;

}

通俗地解释编译器的运行结果： (-5%-3)编译器先将-3自动转换为正整数3，然后计算-(5%3)的结果，所以运算结果为-2。 (5%-3)编译器先将-3自动转换为正整数3，然后计算(5%3)的结果，所以运算结果为2。 (-5%3)编译器直接计算-(5%3)的结果，所以运算结果为-2。

测试结果如下：

总结：

1）不管是两个同号数取余还是两个异号数取余，取余结果是正整数才是我们生活中普遍认可的结果。

2）在编译器中，两个异号的数取余之后的结果取决于分子的符号。负数%负数，编译器会将分母的负数自动转换为正整数，然后再将分子负数的负号提取出来，将两个正整数取余，最后的结果加上负号就好了。负数%正数，编译器先将分子负数的负号提取出来，将两个正整数取余，最后结果加上负号即可。正数%负数，编译器自动将分母负数转换为正整数，然后两个正整数取余得到就是最终结果。